4.1. Pengantar Peluang dan Sebaran Peluang Diskret

Pada materi 3.1 dan materi 3.2 kita sudah belajar analisis statistika deskriptif. Kita sudah belajar menghitung statistik pemusatan dan statistik sebaran dengan menggunakan fungsi Excel maupun dengan menggunakan pilihan Descriptive Analysis melalui add-in Analysis ToolPak. Semua statistik yang sudah Anda pelajari tersebut akan sangat Anda perlukan untuk menganalisis data secara deskriptif, ketika Anda melakukan penelitian nanti, maupun ketika nanti Anda memasuki dunia kerja. Excel digunakan di mana-mana di dunia kerja, sehingga Anda perlu terus berlatih menggunakannya. Pada awal kuliah saya sudah sampaikan bahwa statistika terdiri atas statistika deskriptif dan statistika inferensial. Dengan menyelesaikan materi 3.2 maka Anda sudah mempunyai pengetahuan dasar mengenai statistika deskriptif. Pada materi 4.1 ini kita akan mulai melangkah ke statistika inferensial, dengan membahas mengenai teori peluang dan sebaran peluang diskret.

4.1.1. MATERI KULIAH

4.1.1.1. Mambaca Materi Kuliah
Apa itu Peluang dan Teori Peluang?

Istilah peluang merupakan terjemahan dari istilah probability dalam Bahasa Inggris. Dalam bahasa sehari-hari, peluang biasa disebut dengan menggunakan istilah lain, misalnya istilah mungkin, seberapa mungkin, berapa kemungkinannya, boleh jadi, sepertinya akan, dan sebagainya. Misalnya, ketika hari ini mendung, seorang teman Anda berkata, "Sepertinya hari ini akan hujan." Istilah "hari ini akan hujan" merupakan istilah peluang yang dinyatakan dalam bahasa sehari-hari. Setelah mengikuti kuliah Statistika Terapan selama ini, Anda mungkin bertanya dalam hati, "Apakah saya bisa lulus dengan nilai A?" Atau, setelah menjalin hubungan sekian lama dengan seseorang, sampai sejauh mana Anda yakin bahwa Anda akan masih bersama dengan dia tahun depan? Dalam bidang pertanian, seorang petani mungkin bertanya, "Apakah tanaman jagung yang saya tanam musim hujan tahun ini akan menghasilkan panen yang cukup?" Pertanyaan-pertanyaan seperti ini sebenarnya merupakan pertanyaan-pertanyaan mengenai peluang.

Contoh mengenai peluang yang sederhana adalah peluang memperoleh angka atau gambar ketika Anda melemparkan koin satu kali atau melempar dadu satu kali. Dalam kaitan dengan konsep peluang, melemparkan koin dan melemparkan disebut percobaan peluang (probability experiment). Hasil yang mungkin dari melemparkan satu koin sebanyak satu kali adalah Anda memperoleh angka atau memperoleh gambar, dari melempar sebuah dadu satu adalah memperoleh salah satu dari enam sisi dadu.Memperoleh angka dari melempar koin atau memperoleh sisi berangka 5 dari melempar dadu  merupakan kejadian (event). Kupulan kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan peluang  merupakan ruang sampel peluang (probability sample space), biasa dilambangkan dengan S. Jika memperoleh angka kita nyatakan sebagai A dan memperoleh gambar sebagai G dalam percobaan melemparkan satu koin sebanyak satu kali maka ruang sampel peluangnya adalah S = {A,G}. Jika memperoleh setiap angka dalam percobaan melempar dadu kita nyatakan sebagai 1, 2, 3, 4, 5, dan 5 dalam percobaan melempar satu dadu sebanyak satu kali maka ruang sampel peluangnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dalam percobaan melempar satu koin sebanyak satu kali kita memperoleh ruang sampel peluang beranggota 2, dalam percobaan melempar satu dadu sebanyak satu kali kita memperoleh ruang sampel peluang beranggota 6. Jumlah anggota yang terdapat dalam satu ruang peluang dari satu percobaan peluang tertentu merupakan jumlah titik sampel peluang, dinyatakan sebagai n(S), yang bernilai 2 pada percobaan melempar satu koin sebanyak satu kali dan bernilai 6 dalam percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali. Dalam konsep peluang, peluang munculnya satu kejadian adalah jumlah titik kejadian yang benar terjadi dibagi dengan jumlah seluruh titik kejadian yang mungkin dalam percobaan yang dilakukan. Pada percobaan pelemparan satu koin sebanyak satu kali, peluang terjadinya angka adalah 1/2 sebab dalam koin tersebut jumlah titik kejadian yang terjadi, yaitu angka, adalah satu dan jumlah seluruh titik kejadian yang mungkin terjadi, yaitu angka dan gambar, adalah 2. Pada percobaan pelemparan satu dadu sebanyak satu kali, peluang terjadinya angka 5 adalah 1/6 sebab dalam dadu tersebut jumlah titik kejadian yang terjadi, yaitu sisi dengan angka 5, adalah satu dan jumlah seluruh titik kejadian yang mungkin terjadi, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada keenam sisi dadu, adalah 6. 

Bagaimana jika kita melakukan percobaan melempar 2 koin atau 2 dadu atau 1 koin dan 1 dadu sekaligus? Berapa perluang memperoleh AG atau GA dalam perconaan melempar dua koin sekaligus, berapa peluang memperoleh anka 3 dan 5 atau angka 5 dan 3, berapa peluang memperoleh angka pada koin dan sisi 5 pada dadu? Melembar dua koin sekaligus, dua dadu sekaligis, serta satu koin dan satu dadu sekaligus merupakan percobaan dengan dua ruang sampel yang saling bebas satu sama lain yang masing-masing mempunyai titik sampel 2 untuk untuk koin dan 6 untuk dadu. Dalam percobaan pelemparan 2 koin sekaligus, kita tahu bahwa ruang sampelnya adalah {AA, AG, GA, dan GG} yang berarti n(S) = 4. Angka 4 diperoleh dari n(2)=2 untuk koin pertama dan n(S)=2 dari koin kedua. Nilai n(S)=2 untuk tiap koin diperoleh dari 2! (baca: dua faktoral, 2*1). Rumusan 2! diperoleh dari rumus permutasi n elemen, yaitu 2 elemen, yang dipermutasikan keduanya sekaligus, atau permutasi 2 elemen dari n(s)=2 yang rumusnya adalah nPn atau P(n,n) = n!. Untuk permutasi lainnya, misalnya berapa banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan bendahara dari 8 siswa yang tersedia untuk dipilih, silahkan periksa rumus permutasi lainnya. Jika urutan tidak perlu diperhatikan sehingga AG kita perlakukan sama dengan GA, silahkan pelajari cara menentukan dan menghitung kombinasi (combination). Pengetahuan mengenai permutasi dan kombinasi diperlukan untuk menentukan peluang terjadinya suatu kejadian yang kita harapkan terjadi menurut teori peluang. Menggunakan fungsi Excel, faktorial dihitung dengan menggunakan fungsi FACT, permutasi dengan menggunakan fungsi PERMUT, dan kombinasi dengan menggunakan fungsi COMBIN. Silahkan pelajari penggunaan fungsi FACT, penggunaan fungsi PERMUT, dan penggunaan fungsi COMBIN.

Sebaran Peluang Diskret

Ketika kita menentukan besaran sesuatu, kita bisa lakukan dengan mencacah (to count) atau dengan mengukur (to measure). Misalnya, untuk menentukan berapa jumlah butir jagung yang terdapat dalam satu baris butir jagung pada satu tongkol jagung, Anda perlu mencacah satu per satu butir jagung yang terdapat dalam satu baris pada satu tongkol jagung. Untuk menentukan berapa berat satu butir jagung yang terdapat dalam satu baris butir jagung pada satu tongkol jagung, Anda perlu menimbang seluruh butir jagung yang terdapat dalam satu baris butir jagung pada satu tongkol jagung dan kemudian membagi berat hasil timbangan dengan jumlah butir jagung yang Anda timbang. Hasil dari mencacah selalu merupakan bilangan bulat, sedangkan hasil dari mengukur dapat merupakan bilangan pecahan. Jika Anda mencacah jumlah biji jadung yang terdapat dalam satu baris, katakanlah pada 100 tingkol jagung, maka Anda akah memperoleh jumlah baris dengdalam bentuk kurva maka Anda akan memperoleh kurva sebaran frekuensi sebagaimana yang sudah kita diskusikan pada materi sebelumnya (cek materi kuliah yang mana). Jika kemudian nilai setiap kelas dalam kurva sebaran frekuensi yang bernilai diskret kita bagi dengan nilai keseluruhan kelas maka kita memperoleh sebaran peluang diskret. Jika peluang ditentukan untuk setiap kejadian maka peluangnya disebut fungsi massa peluang (probability mass function), PMF) , sedangkan jika dijumlahkan sampai nilai kejadian tertentu disebut fungsi sebaran kumulatif (cummulative distribution function, CDF).

Sebagai contoh adalah melemparkan dua dadu sekaligus secara berulang-ulang. Setiap sisi dadu yang berjumlah 6 sisi mempunyai nomor 1 sampai 6. Dalam sekali melempar, sisi yang tampil dapat merupakan kombinasi sisi 1 dan 1 yang berjumlah 2, sisi 1 dan sisi 2 yang berjumlah 3 dan seterusnya. Jika nilai sisi yang tampil dijumlahkan maka diperoleh nilai terendah 2 (sisi 1 dan sisi 1) dan maksimum 12 (sisi 6 dan sisi 6). Jika kita buat kurva sebaran frekuensinya maka kita akan memperoleh frekuensi untuk nilai jumlah dua sisi dadu yang tampil dari terkecil 2 sampai terbesar 12. Sebaran frekuensinya yang merupakan sebaran fungsi massa peluang adalah sebagaimana gambar berikut ini. 

Sebaran peluang diskret untuk peubah acak diskret X yang mempunyai nilai x1, x2, x3, …, xk  adalah f(x,k)1/k untuk x=x1, x2, x3, ... xk, di mana k adalah jumlah kejadian maksimum yang mungkin terjadi. Sebagai contoh, jika John, Maria, dan Aryo berpeluang sama mendapat beasiswa, maka distribusi peluang dikretnya adalah: P(x,3)(1/3), untuk x={John, Maria, dan Aryo} atau jika diberi nomor, untuk x={1,2,3) dan k=3. Secara umum nilai k dapat dianggap sebagai permutasi n dari N (nPn) atau kombinasi n dari N (nCN), bergantung pada apakah urutan perlu atau tidak perlu diperhatikan. Selain soal urutan yang boleh atau tidak boleh diabaikan, juga perlu diketahui hubungan antara percobaan yang dilakukan untuk menghasilkan kejadian, apakah merupakan percobaan tunggal atau percobaan gabungan. Jika merupakan percobaan gabungan, apakah merupakan dua kejadian saling lepas atau saling bebas, apakah merupakan peluang bersyarat, apakah merupakan peluang gabungan, atau merupakan peluang kejadian marjinal. Silahkan mempelajari lebih lanjut mengenai hal ini. 

Macam Sebaran Peluang Diskret

Bentuk umum dari sebaran peluang diskret adalah sebaran peluang binomial, yaitu percobaan dengan kemungkinan dua kejadian hasil yang dilakukan berulang kali, sebagaimana contoh percobaan melempar dua koin atau melemparkan dua dadu yang dilakukan secara berulang-ulang. Suatu percobaan binomial adalah suatu percobaan yang memiliki sifat-sifat

berikut:

1. Percobaan terdiri atas n percobaan yang identik.
2. Setiap hasil percobaan dapat diklasifikasikan sebagai sukses atau gagal
3. Probabilitas suskes, dinyatakan dengan p, dan kegagalan dengan q = 1- p.
4. Percobaan-percobaan yang dilakukan tidak saling bergantung (independent). 

Sebaran peluang dari sebaran peluang binomial adalah:

Sebagai contoh adalah dalam perencanaan sistem pengendalian banjir suatu sungai, banjir

tahunan maksimum adalah hal yg harus diperhatikan. Bila peluang dari banjir

maksimum tahunan melebihi ketinggian desain tertentu adalah 0,1. Peluang bahwa ketinggian akan terlampaui satu kali dalam 5 tahun mendatang: 

Dengan menggunakan fungsi Excel, peluang distribusi binomial dapat kita hitung dengan menggunakan fungsi BINOM.DIS. 

Selain distribusi binomial, sebaran peluang diskret lainnya adalah sebaran Bernoulli, sebaran Poisson, sebaran hipergeometri, sebaran binomial negatiuf, dan sebaran geometri. Sebaran Bernoulli adalah sebaran binomial kasus khusus, yaitu percobaan dengan kemungkinan dua kejadian hasil yang dilakukan hanya satu kali. Sebaran diskret Poisson merupakan sebaran diskret banyaknya kejadian tertentu yang terjadi dalam suatu waktu atau tempat tertentu, misalnya banyaknya kendaraan yang melintas di jalan tertentu selama 1 jam. Distribusi Poisson dapat dipandang sebagai distribusi binomial dengan n yang sangat besar. Sebaran hipergeometri menyatakan peluang terjadinya k sukses yang terambil dari dari n pengambilan dari populasi berukuran N, dimana terjadi k sukses di dalam populasi tersebut. Sebaran binomial negatif merupakan sebaran peluang banyaknya percobaan yang perlu dilakukan sampai didapatkan k sukses, misalnya banyaknya bola lampu yang harus diperiksa sampai ditemukan 5 buah bola lampu mati. Sebaran geometri merupakan sebaran peluang dikret banyaknya percobaan yang harus dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama. Pembahasan mengenai sebaran distribusi peluang akan dilakukan lebih mendalam pada materi berikunya.

4.1.1.2. Membaca Pustaka

Materi kuliah yang Anda baca ini hanyalah semacam panduan mengenai bagaimana seharusnya Anda mempelajari materi kuliah ini. Untuk mempelajari materi kuliah ini lebih lanjut, Anda perlu membaca pustaka sebagai berikut:

• Buku Teks: Bowen (2022) Chapter 2 Graph dan Common Distribution Shapes, Schmuller (2016) Part I Chapter 3.
• Website: Ablebits.com: How to calculate variance in Excel - VAR, VAR.S, VAR.P and other functions dan How to calculate standard deviation in Excel, Contexrures: Excel Median Function Examples, DQLab: Tutorial Analysis ToolPak untuk Teknik Analisis Data Deskriptif, Statistics by Jim: Descriptive Statistics in Excel (Data Analysis Add-in), Real Statistics Using Excel: Measures of Variability, Real Statistics Boxplot  https://www.real-statistics.com/descriptive-statistics/box-plots/ dan https://www.real-statistics.com/descriptive-statistics/box-plots-with-outliers/

Silahkan mengklik halaman Pustaka Kuliah untuk mengakses dan mengunduh buku teks, mengakses perpustakaan daring dan mengunduh buku teks gratis, mengakses websites, dan mengakses artikel jurnal ilmiah.

3.2.2. PENDALAMAN MATERI KULIAH

3.2.2.1. Mengerjakan dan Melaporkan Projek

Untuk berlatig melakukan perhitungan statistik sebaran data dengan menggunakan fungsi Excel, silahkan unduh data latihan dan lakukan sebagai berikut:

1. Jika temaan Anda menanyakan, berapa peluang Anda lulus mata kuliah statistika dengan nilai A, jelaskan bagaimana Anda sebaiknya menjawabnya
2. Pada awal kuliah sudah dibahas mengenai statistika yang dapat dibedakan menjadi statistika deskriptif dan statistika inferensial. Setelah membaca materi mengenai ukuran pemusatan dan ukuran sebaran serta membaca materi pengantar mengenai peluang dan sebaran peluang diskret, jelaskan perbedaan antara kedua kategori statistika tersebut.
3. Setelah mempelajari statistika dengan menggunakan program aplikasi Excel, jelaskan manfaat yang Anda peroleh dibandingkan dengan mempelajari statistika tanpa dukungan program aplikasi.

Silahkan menggunakan jawaban terhadap pertanyaan-pertanyaan 1-3 untuk mengerjakan Laporan Projek Kuliah. 

3.2.2.2. Mendiskusikan dengan Cara Membagikan Materi Kuliah

Setelah membaca materi kuliah, silahkan bagikan materi kuliah melalui media sosial yang dimiliki disertai dengan mencantumkan status tertentu, misalnya "Saya sekarang baru tahu ternyata statistika terapan itu menyenangkan  ... dst." Untuk membagikan lauar klik tombol Beranda dan kemudian klik tombol pembagian memalui media sosial dengan mengklik tombol media sosial yang tertera di sebelah kanan judul materi kuliah. Jika media sosial yang dimiliki tidak tersedia dalam ikon yang ditampilkan, klik ikon paling kanan untuk membuka ikon media sosial lainnya. Materi kuliah dibagikan paling lambat pada Senin, 17 Oktober 2022 pukul 24.00 WITA dengan cara menjawab pertanyaan pada laporan melaksanakan kuliah.

3.2.2.3. Mendiskusikan dengan Cara Menyampaikan dan/atau Menanggapi Komentar
Setelah membaca materi kuliah, silahkan buat minimal satu pertanyaan dan atau komentar mengenai materi kuliah. Buat pertanyaan secara langsung tanpa perlu didahului dengan selamat pagi, selamat siang, dsb., sebab belum tentu akan dibaca pada jam sesuai dengan ucapan selamat yang diberikan. Ketik pertanyaan atau komentar secara singkat tetapi jelas, misalnya "Mohon menjelaskan apa manfaat mempelajari statistika terapan". Pertanyaan dan/atau komentar diharapkan ditanggapi oleh mahasiswa lainnya dan setiap mahasiswa wajib menanggapi minimal satu pertanyaan dan/atau komentar yang disampaikan oleh mahasiswa lainnya. Pertanyaan dan/atau komentar maupun tanggapannya disampaikan paling lambat pada Senin, 17 Oktober 2022 pukul 24.00 WITA dengan cara menjawab pertanyaan pada laporan melaksanakan kuliah.

3.2.3. ADMINISTRASI PELAKSANAAN KULIAH

Sebagai pertanggunjawaban adominsitasi bahwa kuliah sudah dilaksanakan, silahkan menandatangani daftar hadir dan memasukkan laporan mengerjakan projek kuliah sebagai berikut:

1. Menandatangani Daftar Hadir Melaksanakan Kuliah selambat-lambatnya pada Rabu, 12 Oktober 2022 pukul 24.00 WITA dan setelah menandatangani, silahkan periksa untuk memastikan daftar hadir sudah ditandatangani;
2. Menyampaikan Laporan Melaksanakan Kuliah selambat-lambatnya pada Senin, 17 Oktober 2022 pukul 24.00 WITA dan setelah memasukkan, silahkan periksa untuk memastikan laporan sudah masuk.

Mahasiswa yang tidak mengisi dan menandatangani Daftar Hadir Melaksanakan Kuliah dan tidak menyampaikan Laporan Melaksanakan Kuliah akan ditetapkan sebagai tidak mengikuti perkuliahan.

***********

Hak cipta blog pada: I Wayan Mudita
Diterbitkan pertama kali pada 3 September 2022, belum pernah diperbarui.

Hak cipta selurun tulisan pada blog ini dilindungi berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License. Silahkan mengutip tulisan dengan merujuk sesuai dengan ketentuan perujukan akademik.